Geometrické Útvary a Ich Vlastnosti
Množina bodov na priamke, v rovine alebo v priestore predstavuje geometrický útvar. Jeho základnou vlastnosťou je tvar, ale jeho veľkosť nie je podstatná. Izolovanú oblasť v rovine nazývame obrazec, uzavretú oblasť v priestore nazývame teleso. Hranicu obrazca označujeme obvod, hranicu telesa označujeme povrch. Základné geometrické útvary sú útvary, z ktorých sa odvodzujú ďalšie geometrické útvary.
Časť geometrie, ktorá sa zaoberá základnými rovinnými útvarmi, sa nazýva planimetria. Medzi základné rovinné geometrické útvary patria štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, rovnobežník, trojuholník, lichobežník a kruh.
Základné Rovinné Geometrické Útvary
Štvorec
Štvorec je pravidelný štvoruholník, ktorý má susedné strany rovnako dlhé a sú navzájom kolmé. Jeho uhly sú pravé a uhlopriečky sa rozpoľujú, pričom sú rovnako dlhé. Ak počítame obvod štvorca, stačí nám vziať jednu stranu štvorca a vynásobiť ju štyrmi (počtom strán): O = 4a. Obsah štvorca sa vypočíta vynásobením dvoch strán, čiže S = a2.
Obdĺžnik
Obdĺžnik je rovnobežník, ktorého susedné strany nie sú rovnako dlhé, ale sú navzájom kolmé. Jeho protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné a každé dve susedné strany obdĺžnika zvierajú navzájom pravý uhol. Jeho uhlopriečky sa rozpoľujú a sú rovnako dlhé. Obvod obdĺžnika je O = 2 (a + b) a obsah S = a . b.
Kosoštvorec
Kosoštvorec je rovnobežník, ktorý má všetky strany rovnako dlhé a susedné strany nie sú na seba kolmé. Jeho protiľahlé uhly sú zhodné. Uhlopriečky sa rozpoľujú a sú na seba kolmé. Obvod kosoštvorca je: O = 4a, obsah je S = a.va alebo S = .
Rovnobežník
Rovnobežník je štvoruholník, v ktorom sú obidve dvojice protiľahlých strán zhodné a rovnobežné, a protiľahlé uhly sú tiež zhodné. Jeho uhlopriečky sa rozpoľujú a protiľahlé uhly majú rovnakú veľkosť. Jeho obvod je: O = (a + b) a obsah je S = a.va.
Trojuholník
Trojuholník je mnohouholník s troma vrcholmi. Podľa veľkosti strán delíme trojuholníky na: všeobecné, rovnoramenné a rovnostranné. Všeobecný trojuholník má rozličnú veľkosť strán a trojuholník nie je pravouhlý. Rovnoramenný trojuholník má dve strany rovnako veľké a uhly pri základni sú rovnaké. Podľa veľkosti najväčšieho vnútorného uhla delíme trojuholníky na: ostrouhlé (každý uhol menší ako 90 stupňov), tupouhlé (jeden z uhlov väčší ako 90 stupňov) a pravouhlé (jeden uhol má 90 stupňov). Pre strany trojuholníka musí platiť trojuholníková nerovnosť, čiže súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán je väčší ako dĺžka tretej strany (a + b > c, b + c > a, a + c > b).
Výška va je vzdialenosť bodu A od priamky, na ktorej leží strana a. Teda je to vzdialenosť bodu A od päty kolmice na priamku BC vedenú bodom A.
KONŠTRUKCIE TROJUHOLNÍKOV s využitím VÝŠOK
Pytagorova veta popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov nad obomi jeho odvesnami. Dĺžka odvesny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Dĺžka prepony a = \sqrt{c^2-b^2}. Pytagorejské trojice sú trojice celých čísel, ktoré spĺňajú a^2+b^2=c^2, teda trojuholník s príslušnými dĺžkami strán je pravouhlý. Ďalšie príklady pytagorejských trojíc: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Medzi pytagorejské trojice patria tiež všetky násobky týchto trojíc, napr. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). V prípade štvorca so stranou a tvorí uhlopriečka preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkou a. Pre dĺžku uhlopriečky u teda platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. V prípade rovnostranného trojuholníka so stranou a tvorí výška odvesnu pravouhlého trojuholníka s preponou s dĺžkou a a odvesnou s dĺžkou \frac{a}{2}. Pre dĺžku výšky v teda platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostávame v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}.
Lichobežník
Lichobežník je štvoruholník, v ktorom je jedna dvojica protiľahlých strán rovnobežná a druhá dvojica je rôznobežná. V lichobežníku sa uhlopriečky nerozpoľujú. Typy lichobežníkov: rôznoramenný (všetky štyri strany majú rôznu dĺžku) , rovnoramenný (obidve ramená sú rovnako dlhé) a pravouhlý (jeden uhol má presne 90 stupňov). Obvod lichobežníka je: O = a + b + c, obsah je S = .
Kruh
Kruh je množina všetkých bodov v rovine, ktoré od bodu (S - stred kruhu) v rovine majú vzdialenosť menšiu alebo takú, ktorá sa rovná polomeru r. Hranicu kruhu tvorí kružnica a je podmnožinou kruhu. Kruh je plocha ohraničená kružnicou vrátane nej samej.
Kružnica s daným stredom S a polomerom r je tvorená všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené presne o r. Kruh s daným stredom S a polomerom r je tvorený všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené najviac o r. Kruh s daným stredom a polomerom je teda zjednotenie kružnice s rovnakým stredom a polomerom a jej vnútornou oblasťou. Stred S kruhu je bod, ktorý patrí do kruhu.
Základné Priestorové Geometrické Útvary
Časť geometrie, ktorá sa zaoberá priestorovými geometrickými útvarmi, sa nazýva stereometria. Medzi základné priestorové geometrické útvary patria kocka, kváder, hranol, ihlan, valec, kužeľ a guľa.
Kocka
Kocka alebo pravidelný šesťsten je trojrozmerné teleso (mnohosten) a steny sú tvorené šiestimi rovnakými štvorcami. Je špeciálnym prípadom kvádra, ktorého všetky hrany majú rovnakú dĺžku. Kocka patrí medzi tzv. platónske telesá, lebo má zhodné všetky strany a hrany. Povrch kocky je S = 6 a2, objem je V = a3.
Rubikova kocka je mechanický hlavolam, ktorý roku 1974 vynašiel maďarský sochár a architekt Ernő Rubik. Rubikova kocka je plastová kocka a skladá z menších rôznofarebných kociek. Malé kocky sú spojené pohyblivým mechanizmom, ktorý ju umožňuje otáčať o násobok 90 stupňov. Rubikova kocka má v zloženom stave každú stranu jednej farby. Úlohou je poskladať kocku po rozhraní jednotlivých farieb do pôvodného stavu.
Kváder
Kváder je trojrozmerné teleso (mnohosten), ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov (väčšinou obdĺžnikov, ale existujú aj špeciálne prípady). Jeho podstavou je obdĺžnik. Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú označené ako dĺžka, šírka a výška kvádra. Povrch kvádra je S = 2 (ab + bc + ac), objem je V = abc.
Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov. Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky. Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac).
Hranol
Hranol je mnohosten, ktorého dve steny ležia v rovnobežných rovinách. Tieto dve steny označujeme ako podstavy. Ostatné, bočné steny tvoria plášť hranola. Povrch hranola je tvorený všetkými jeho stenami. Strany podstavy hranola nazývame podstavnými hranami. Hrany, ktoré nie sú podstavnými, nazývame bočné hrany. Kolmý hranol je teleso, ktorý má bočné hrany kolmé na roviny podstáv, tvorené mnohouholníkom (podľa toho, koľko strán majú podstavy, môže byť hranol trojboký, štvorboký a päťboký). Povrch hranola je S =2 Sp + Spl, objem je V = Sp .Vh.
Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca. Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol.
Ihlan
Ihlan je teleso, v ktorom sú rohy rovinného mnohouholníka (základne) priamočiaro spojené s nejakým bodom (vrchol ihlana) nachádzajúcim sa mimo roviny tohto mnohouholníka. Špeciálnymi druhmi ihlana sú kvadratický ihlan, ktorého základňou je štvoruholník, a tetraéder, ktorého základňa je trojuholník. Pravidelný ihlan je teleso, ktorého základňa je pravidelný mnohouholník a vrchol sa nachádza nad jeho stredom. Povrch ihlana je S = Sp + Spl , objem je V = Sp . v.
Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Objem ihlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov.
Valec
Valec je oblé teleso, ktoré získame ako prienik valcového priestoru a rovinnej vrstvy. Rotačný valec je teleso s rovnobežnými kruhovými podstavami rovnakého polomeru a výška valca je kolmá na roviny podstáv. Povrch valca je S = 2 S + Q, objem je V = S . v.
Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah kruhovej podstavy. Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2\cdot S_p + S_{pl}. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2\pi \cdot r (výška valca a obvod jeho podstavy).
Kužeľ
Kužeľ je oblé teleso, ktoré získame ako prienik kužeľovitého priestoru a rovinnej vrstvy. Kruhový kužeľ je taký, ktorého podstavou je kruh a rotačný kužeľ vznikne, ak kolmica spustená z vrcholu na rovinu podstavy prechádza stredom podstavy kruhového kužeľa. Povrch kužeľa je S = πr (r + s), objem je V = πr2 . v .
Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.
Guľa
Guľa je množina všetkých bodov trojrozmerného priestoru, ktoré majú od stredu S vzdialenosť menšiu alebo rovnakú ako polomer r.
Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov. Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie.
Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.
Poloha v Priestore
S problémom určenia polohy bodu v priestore sa od nepamäti zaoberajú ľudia mnohých profesií. Či už to boli lovci, stavitelia, námorníci, vojvodcovia. Z teoretického hľadiska sa touto problematikou zaoberali najmä fyzici, matematici ale i astrológovia, astronómovia, alchymisti. Všetci vychádzali zo základného predpokladu, určenia oporného bodu (jazero, strom, kameň, "severka", slnko a pod.), ku ktorému vyjadrovali relatívnu polohu popisovaného objektu pomocou smeru a vzdialenosti (napr. dva dni od jazera v smere zapadajúceho slnka). Tento spôsob je dodnes požívaný s využitím polárnych súradníc (uhol, vzdialenosť). Teoretikom však takýto spôsob nevyhovoval a zaviedli tzv. súradnicové systémy, ktoré sa skladali z priamok (osí) pretínajúcich sa v počiatku - základnom bode. Poloha objektu je určená prienikom priamok rovnobežných s osami v určitej vzdialenosti (vzdialenosti skúmaného bodu od určitej osi sa hovorí súradnica). V prípade, že sú osi na seba kolmé, hovoríme o karteziánskych súradniciach.
Je zrejmé, že povrch Zeme nie je rovina - povrch Zeme je nesúrodá plocha. Aby sme mohli vytvoriť jej model, je určená rovnomerná plocha - nulová hladina plochy. Táto plocha tvorí povrch telesa, ktoré nazývame geoid. Pri modelovaní je potrebné nahradiť skúmanú plochu (v tomto prípade geoid) plochou, ktorá je matematicky definovateľná. Pri skúmaní povrchu Zeme sa najčastejšie využíva referenčný elipsoid, zriedkavo guľová plocha. Poloha bodov na jej povrchu je určená pomocou súradníc v súradnej sústave. Súradnicový systém - systém, ktorý umožňuje jednoznačné definovanie polohy na Zemi. Využívajúc na určenie polohy relatívne vzdialenosti objektu od súradnicových osí. Jedným z najuniverzálnejších súradnicových systémov vhodných pre určenie polohy v celosvetovom merítku je World Geodetic System (WGS).
Každé geografické zobrazenie má za cieľ pretransformovať Zemský povrch na rovinu. Poznáme niekoľko druhov zobrazení, ktoré sa využívajú pri tvorbe priemetov zemského povrchu. Súradná sústava, v ktorej je zobrazené územie nášho štátu je odvodená od pôvodného zobrazenia bývalej Československej republiky. Zobrazenie označované ako Súradnicový systém Jednotnej trigonomickej siete katastrálnej (S-JTSK) je u nás aj v Čechách záväzným súradnicovým systémom. Charakterizujú ho parametre Besselovho elipsoidu a následné zobrazenie tohto elipsoidu do roviny Křovákovým spôsobom. Besselov elipsoid: jeho zavedenie je datované r. Nasledujúci obrázok vľavo dole znázorňuje rozvinutú kužeľovú plochu do roviny a zobrazenie bývalej Československej republiky v tomto zobrazení. Kužeľová plocha sa dotýka modelovej Gaussovej gule v rovnobežke 78°30'. Bod T [d 42°30' , š 48°15'] je bod, v ktorom sa dotýka priamka prechádzajúca vrcholom kužeľa a znázorňujúca os x. Veľkosť úsečky TV je 1 298 039,0046km.Vrchol V je počiatok súradnej sústavy a jej orientácia je volená tak, aby celé územie bývalého Československa bolo v kladnom kvadrante. Nomenklatúru, ktorá je odvodená z tohto zobrazenia tvorí základný triangulačný list, (štvorcová sieť s veľkosťou štvorcov 50km x 50km), triangulačný list (vznikne rozdelením zákl. triang.
Druhý spôsob zobrazovania nášho územia, ktorý sa u nás využíva hlavne vo vojenstve je Gaus-Krügerovo zobrazenie. Toto zobrazenie využíva zobrazenie referenčného elipsoidu do valcovej plochy a jej následné rozvinutie do roviny.
Výpočet Obsahu a Obvodu
| Útvar | Obvod | Obsah |
|---|---|---|
| Trojuholník | Súčet dĺžok strán | (základňa * výška) / 2 |
| Štvorec | 4 * dĺžka strany | dĺžka strany 2 |
| Obdĺžnik | 2 * (dĺžka + šírka) | dĺžka * šírka |
| Kruh | 2 * π * polomer | π * polomer 2 |
| Lichobežník | Súčet dĺžok strán | (a + c) / 2 * v |
