Guľa Dotýkajúca sa Hrany Kocky

Článok sa zaoberá problematikou gule, ktorá sa dotýka hrán kocky, pričom sa zameriava na vzorce, definície a súvislosti s rôznymi oblasťami matematiky. Cieľom je poskytnúť komplexný pohľad na túto tému, od základných definícií až po zložitejšie geometrické konštrukcie a výpočty.

Predstavme si kocku. Teraz si predstavme guľu, ktorá sa dotýka každej hrany tejto kocky. Ako by sme vypočítali polomer takejto gule?

Tento vzorec platí, pretože stred gule sa nachádza v strede kocky a dotykový bod gule s hranou kocky je stred hrany. Polomer gule je teda polovicou dĺžky hrany kocky.

Výpočet povrchu a objemu gule

Ak poznáme polomer gule, môžeme vypočítať jej povrch a objem.

Vzorce pre výpočet:

Povrch gule: S = 4πr²
Objem gule: V = (4/3)πr³

Pre lepšie pochopenie problematiky je nevyhnutné definovať základné pojmy, s ktorými budeme pracovať:

Absolútna hodnota čísla: Kladná hodnota čísla bez ohľadu na znamienko, označuje sa zvislými čiarami. Napr. |-3,5| = 3,5. Geometricky predstavuje vzdialenosť obrazu daného čísla na číselnej osi od nuly.
Aritmetický priemer: Súčet konečnej množiny čísel vydelený ich počtom.
Bod: Geometrický útvar, ktorý má nulový rozmer. Napr. bod v rovine A [2 ; 3], B [-5 ; 7].
Celé čísla: Delíme na záporné a kladné. Kladné celé čísla nazývame tiež prirodzené. Číslo 0 nie je ani kladné, ani záporné.
Centimeter (cm): Stotina metra, tiež 10 milimetrov.
Činitele: Čísla pri násobení.
Číselná os: Priamka s vyznačeným počiatkom 0 a jednotkou mierky 1. Kladné čísla sú vpravo od 0, záporné čísla vľavo.
Číslice: Symboly označujúce čísla; I, V, X, L, C, D, M sú rímske číslice.
Desatinné číslo: Číslo, ktoré môžeme zapísať v tvare desatinného zlomku.
Definičný obor funkcie: Množina, z ktorej môžeme dosadiť do funkcie. Napr. definičným oborom môže byť množina kladných reálnych čísel.
Delenec: Pri delení čísel je to číslo, ktoré chceme vydeliť iným číslom.
Delenie: Jedna zo základných aritmetických operácií. Operácia inverzná k násobeniu. Napr. podiel.
Deliteľ: Pri delení je to číslo, ktorým chceme vydeliť delenca. Napr. pri delení 2468 : 3 je 3 deliteľ.
Delitele čísla: Všetky celé čísla, ktoré dané číslo delia bezo zvyšku. Napr. delitele 12 sú 1, 2, 3, 4, 6, 12; delitele 17 sú 1 a 17. Deliteľnosť zisťujeme podľa znakov deliteľnosti.
Deväťuholník: Plošný útvar - mnohouholník s deviatimi stranami a desiatimi vnútornými uhlami.
Diferencia: Rozdiel medzi dvoma po sebe idúcimi členmi aritmetickej postupnosti. Označujeme ju: d.
Distribútívny zákon: a • (b + c) = a • b + a • c
Dotyčnica: Priamka, ktorá sa dotýka krivky v danom bode.
Druhá odmocnina: Napr. 3 je druhá odmocnina čísla 9, pretože 9 = 3².
Dvojčlen: Algebraický výraz, ktorý obsahuje 2 premenné. Napr. 7x + 4y.
Faktoriál: Súčin všetkých prirodzených čísel menších alebo rovných ako n. Označenie: n!. Napr. 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120. Špeciálne je definovaný faktoriál čísla 0: 0! = 1.
Funkcia: Predpis, ktorý každému prvku z definičného oboru priradí prvok z oboru hodnôt. Napr. predpis y = 2x + 3 je funkciou. Ak vyberieme z definičného oboru napr. x = 5, tak funkcia nám priradí hodnotu y, teda y = 13.
Geometria: Veda o tvaroch kriviek, rovinných obrazcov, rovín a telies.
Geometrická postupnosť: Postupnosť, v ktorej je pomer (kvocient) medzi dvoma po sebe idúcimi členmi konštantný. Táto konštanta sa nazýva kvocient. Napr. postupnosť 64, 32, 16, 8, 4, 2 má kvocient 0,5.
Geometrický priemer: Priemer n čísel je n-tá odmocnina súčinu týchto čísel.
Giga: Predpona označujúca miliardu (10⁹). Napr. gigawatt.
Guľa: Teleso, ktorého povrch je tvorený bodmi rovnako vzdialenými od daného pevného bodu (stredu gule).
Hektár: Plocha 10 000 štvorcových metrov.
Hodina (h): Jednotka času. 1 hodina = 60 minút.
Hranol: Mnohosten, ktorý má po celej dĺžke rovnaký prierez. Výška hranola je dĺžka telesa. Objem hranola sa vypočíta ako V = S_p * v, kde S_p je obsah podstavy.
Ihlan: Teleso, ktorého steny sú trojuholníky s jedným spoločným vrcholom. Objem ihlanu sa vypočíta ako V=1/3*S_p, kde S_p je obsah podstavy. Názov ihlanu je odvodený od tvaru podstavy. Napr. trojboký, päťboký…
Kilo: Predpona označujúca tisíc (10³). Napr. kilogram (kg), kilometer (km).
Kilogram (kg): Jednotka hmotnosti.
Kilometer (km): Jednotka dĺžky. 1 kilometer = 1000 metrov.
Kladné čísla: Čísla väčšie ako 0. Na číselnej osi sa nachádzajú vpravo od bodu 0.
Kocka: Pravidelné teleso so šiestimi štvorcovými stenami.
Kolmé priamky: Priamky, ktoré zvierajú pravý uhol, t.j. 90 stupňov.
Komutatívnosť: Násobenie je komutatívna operácia, lebo platí a . b = b . a napr. 6 . 5 = 5 . 6. Komutatívnou operáciou je aj sčítanie.
Kružnica: Množina bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od daného pevného bodu (stredu kružnice). Polomer kružnice (r) je vzdialenosť od stredu ku kružnici. Os strán trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stred kružnice opísanej trojuholníku. Os uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stred kružnice vpísanej do trojuholníka.
Kubické jednotky: Napr. centimeter kubický (cm³), atď. Sú jednotky objemu. 1m³ = 1 000 000cm³ = 1 000 000 000mm³.
Kužeľ: Teleso, ktoré vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho odvesien.
Medzikružie: Roviny ohraničená dvomi sústrednými kružnicami.
Mega: Predpona označujúca milión (10⁶ ). Napr. megatón.
Menovateľ: Časť zlomku, pod zlomkovou čiarou.
Meter (m): Jednotka dĺžky. 1 meter = 100 centimetrov.
Milión: 1 000 000 objektov.
Milimeter (mm): Jednotka dĺžky. 1 meter = 1000 milimetrov (1m = 1000mm).
Minúta (min): Jednotka času.
Pravidelný mnohosten: je teleso, ktorého všetky steny sú zhodné mnohouholníky. Napr. dvadsaťsten.
Množina: Súhrn rozličných predmetov alebo vecí. Počet prvkov množiny môže byť konečný alebo nekonečný. Napr. d; e; f} je konečná 6-prvková množina.
Exponent (n): je symbol, ktorý určuje, na koľkú je umocnený základ mocniny. Mocnenie je operácia, pri ktorej násobíme číslo (základ mocniny) samo so sebou. Napr. 2⁴ = 2 ּ 2 ּ 2 ּ 2 = 16.
Náhodný jav: Jav, ktorého výsledok je založený na náhode.
Najmenší spoločný násobok (NSN): Najmenší algebraický výraz deliteľné danými algebraickými výrazmi bez zvyšku.
Najväčší spoločný deliteľ (NSD): Najväčšie číslo, ktoré bez zvyšku delí všetky dané čísla.
Námorná míľa: Vzdialenosť 1,85 km.
Násobenie: Jedna zo základných aritmetických operácií. Opakované sčítanie.
Násobok čísla: Číslo x je násobkom čísla y, ak platí x = y • z. Napr. 10 je násobkom čísla 5, pretože existuje prirodzené číslo, a to 2, že platí 10 = 2 • 5.
Nekonečná množina: Množina, ktorá má nekonečný počet prvkov. Napr. množina všetkých prirodzených čísel N = {1; 2; 3 …} je nekonečná.
Nepárne číslo: Číslo, ktoré nie je násobkom 2. Napríklad 7, 19, -107…
Nepravý zlomok: Zlomok, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ. Dá sa zmeniť na zmiešané číslo.
Nepriama úmernosť: Závislosť, pri ktorej, ak jedna veličina rastie, druhá klesá, pričom ich súčin ostáva konštantný.
Nerovnica: Nerovnosť s neznámou.
Nerovnosť: Vyjadrenie toho, že jedna veličina je väčšia ako druhá.
Neúplné delenie: Napr. 25 : 8 = 3 zv. 1.
Neznáma: Neznáme číslo, ktoré máme vypočítať, napr. x.
Newton (N): Hlavná jednotka sily v sústave SI.
Nula (0): 0! = 1.
Obdĺžnik: Štvoruholník, ktorého všetky uhly sú 90º. Protiľahlé strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku. Uhlopriečky obdĺžnika sa navzájom rozdeľujú na dve rovnaké časti a rozpoľujú aj obrazec. Obsah obdĺžnika sa vypočíta ako S = a * b, kde a, b sú strany obdĺžníka.
Objem: Číselné vyjadrenie časti priestoru, ktorú zaberá teleso. Označenie: V.
Obor hodnôt funkcie: Množina obrazov prvkov definičného oboru funkcie.
Obvod: Dĺžka hranice rovinného obrazca. Obvod kruhu je dĺžka kružnice ohraničujúcej daný kruh.
Odčítanie: Jedna zo štyroch základných aritmetických operácií.
Odmocnina: Kladné číslo x nazývame n-tá odmocnina čísla y ak y = xⁿ. Teda ak y je n-tá mocnina čísla x.
Opačné čísla: Dve čísla, ktoré majú rovnakú absolútnu hodnotu, ale opačné znamienko. Ak a, b sú opačné čísla platí: a + b = 0. Súčet navzájom opačných čísel je 0.
Os úsečky: Kolmica pretínajúca úsečku v jej strede.
Os uhla: Polpriamka, ktorá delí uhol na dva zhodné uhly.
Osemuholník: Mnohouholník s ôsmimi stranami.
Ostrý uhol: Uhol, ktorý má viac než 0 a menej než 90 stupňov.
Palec: Angloamerická jednotky dĺžky. 1 palec je približne 2,54 cm. 1 stopa = 12 palcov.
Párne číslo: Čísla, ktoré po delení 2 dávajú zvyšok 0. Sú násobkami čísla 2.
Päťuholník: Mnohouholník s piatimi stranami.
Percento: Časť danej veličiny k celku vyjadrený v stotinách.
Periodické číslo: Desatinné číslo s donekonečna sa opakujúci blok desatinných číslic. Napr. 0,66666…
Podiel: Výsledok delenia. Napr. 25 : 9 = 2, zvyšok je 16.
Podmnožina: Množina A sa nazýva podmnožinou B, ak každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B.
Podobné útvary: Útvary, ktoré majú istý tvar, ale nemusia mať tú istú veľkosť.
Polguľa: Polovica gule.
Polkruh: Polovica kruhu.
Polomer (r): Vzdialenosť od stredu kružnice k bodu na kružnici.
Pomer: Podiel dvoch čísel v tých istých jednotkách. Zlomok sa dá krátiť aj rozširovať.
Pôdorys: Pohľad na nejaký útvar zhora.
Pravdepodobnosť: Číslo, ktoré vyjadruje mieru možnosti nejakej udalosti. Hodnota pravdepodobnosti môže byť od 0 po 1. Pravdepodobnosť 0 = nemožný jav. Pravdepodobnosť 1 = istý jav. Pravdepodobnosť vyjadríme vynásobením pravdepodobnosti číslom 100.
Pravouhlý uhol: Uhol, ktorý má veľkosť 90 stupňov.
Prepona: Najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka. Odvesny sú zvyšné dve strany. Uhol oproti prepone je vždy pravý.
Priama úmernosť: Závislosť medzi dvoma veličinami, kedy ak sa jedna zväčšuje, tak sa úmerne zväčšuje aj druhá.
Priemer: Úsečka spájajúca dva body na kruhu alebo kružnice je tetiva prechádzajúca stredom kruhu alebo kružnice. Označenie: d. Priemer je dvojnásobkom polomeru (d = 2r).
Prienik množín: Množina ich spoločných prvkov.
Prirodzené čísla: Kladné čísla. Označujeme N. Vyjadrujú množstvo (počet).
Prvočíslo: Prirodzené číslo, ktoré má len dvoch deliteľov: 1 a samo seba. Prvočísiel je nekonečne veľa. Napr. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Jediné párne prvočíslo je 2. Najmenšie prvočíslo je 2.
Racionálne číslo: Reálne číslo, ktoré sa dá vyjadriť v tvare zlomku, t.j. a/b, kde a, b sú celé čísla a b ≠ 0. Množinu racionálnych čísel označujeme Q.
Reálne čísla: Racionálne a iracionálne čísla spolu.
Rímske číslice: Systém na zapisovanie prirodzených čísel, ktoré používali Rimania. I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Čísla sa dajú zapísať kombináciou týchto symbolov.
Rotačné teleso: Teleso vytvorené rotáciou rovinného obrazca o 360º okolo osi.
Rovnobežné priamky: Priamky ležiace v jednej rovine, ktoré sa nikdy nestretnú (resp. v nekonečne). Sú od seba všade rovnako vzdialené.
Rovnobežnosten: Mnohosten, ktorého všetky steny sú rovnobežníky.
Rovnoramenný lichobežník: Lichobežník, ktorého nerovnobežné strany sú rovnaké.
Rovnostranný trojuholník: Trojuholník, ktorého všetky strany majú rovnakú dĺžku a všetky uhly sú rovnaké.
Rovnica: Rovnosť s neznámou.
Rozdiel: Výsledok odčítania jedného čísla od druhého, t.j. a - b.
Rozklad čísla: Vyjadrenie čísla ako súčinu niektorých jeho deliteľov. Prvočíselný rozklad je vyjadrenie čísla ako súčinu prvočísiel.
Sčítanec: Z čísel pri sčítaní.
Sčítanie: Jedna zo základných aritmetických operácií.
Sedemuholník: Mnohouholník so siedmimi stranami.
Sekunda (s): Jednotka času. 1 minúta má 60 sekúnd (1min = 60s).
Stupeň uhlový: Jednotka na meranie uhlov. Označenie º. Pravý uhol má 90 º. Priamy uhol má 180 º.
Sústava súradníc: Čísla, ktoré definujú polohu bodu v rovine alebo priestore.
Sústava rovníc: Systém viacerých rovníc s viacerými neznámymi. Sústava sa dá riešiť viacerými metódami.
Šesťuholník: Mnohouholník so šiestimi stranami.
Štvorboký ihlan: Mnohosten so štyrmi trojuholníkovými stenami s trojuholníkovou podstavou.
Štvoruholník: Mnohouholník so štyrmi stranami.
Tona (t): Jednotka hmotnosti. 1 tona = 1000 kilogramov.
Trojčlen: Mnohočlen, ktorý má práve 3 členy.
Trojuholník: Mnohouholník s tromi stranami a tromi uhlami. Trojuholník sa dá rozdeliť mnohými spôsobmi. Nedá sa zostrojiť.
Uhlopriečka: Úsečka spájajúca dva nesusediace vrcholy mnohouholníka. Z jedného vrcholu n - uholníka vychádza n - 3 uhlopriečok.
Uhol: Odchýlky medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v spoločnom bode.
Úsečka: Časť priamky ohraničená dvoma bodmi.
Valec: Teleso, ktorého povrch tvorí plášť a dve rovnobežné kruhové podstavy. Objem valca V = πr²v, kde r je polomer valca a v je výška valca.
Vrcholové uhly: Uhly, ktoré majú spoločný vrchol a ich ramená sú opačné polpriamky.
Výška trojuholníka: Vzdialenosť vrcholu trojuholníka od protiľahlej strany trojuholníka.
Yard: Angloamerická jednotka dĺžky, ktorá sa rovná 0,914m. Tri stopy.
Zaokrúhľovanie: Nahradenie daného čísla číslom, ktoré je mu najbližšie v závislosti na požiadavke zaokrúhlenia. Napr. zaokrúhlenie čísla 2567 na stovky je 2600.
Znaky deliteľnosti: Pravidlá, ktoré umožňujú rýchlo určiť, či je dané číslo deliteľné iným číslom.
Znamienko plus (+): Číslice 0, 1, 2, 3, 4, daná číslica zostáva nezmenená.
Zámena poradia činiteľov: Súčin sa nezmení ak zameníme poradie činiteľov.
Zámena poradia sčítancov: Súčet sa nezmení, ak zameníme poradie sčítancov.
Záporné čísla: Čísla menšie ako 0. Na číselnej osi sa nachádzajú vľavo od bodu 0. Označujú sa znamienkom - (mínus) pred daným číslom.
Združovanie do skupín: Rozdelenie objektov do skupín.
Zjednotenie množín: Množinová operácia. Zjednotenie množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A alebo patriace do množiny B.
Zlomok: Časť celku. Znak zlomku: Zlomková čiara.
Zložené číslo: Každé číslo, ktoré má viac ako dva delitele.
Zmiešané číslo: Súčet celého čísla a zlomku.
Zvyšok po delení: Číslo, ktoré zostane po delení jedného čísla iným.

Ako nájsť polomer gule na základe objemu

Konštrukcia rezu kocky

Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky.

Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť. Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine. Keď poznáme v stene telesa dva rôzne body, ktoré oba ležia v rovine rezu, nakreslíme ich spojnicu.

Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach.
Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode. Týmto bodom prechádzajú všetky tri priesečnice jednotlivých dvojíc rovín.

Úlohy a Riešenia

Nasledujúce úlohy z Matematického náboja 2016 ilustrujú rôzne aspekty geometrie a matematického myslenia.

Matematický náboj 2016: Príklady úloh

Úloha 1: Majme balvan v tvare kocky s objemom 216 m³. Aký je povrch balvana v m² potom, čo z neho vysekneme blok s rozmermi 1 m × 1 m × 2 m?

Riešenie: 216 m².

Úloha 9: Koľko rôznych rovín obsahuje práve štyri vrcholy daného kvádra?

Riešenie: 12.

Úloha 10: Malá Sandra chce nakresliť prekrásny polmesiac len pomocou pravítka a kružidla. Najprv nakreslí kruh so stredom M1...

Vzorec na výpočet objemu gule [Použitie geometrie zo strednej školy]