Guľa vpísaná do rovnostranného kužeľa: Podrobný výpočet
Priestorová predstavivosť nám pomáha vnímať a rozumieť tvarom okolo nás, či už na papieri alebo v skutočnom svete.
Základné geometrické pojmy
Na rozdiel od bežného jazyka, kde majú slová väčšinou niekoľko významov, v matematike používame pojmy s presne definovaným významom. To je veľmi užitočné, pretože sa vďaka tomu môžeme vyjadrovať stručne a pritom jednoznačne.
Rovinné útvary
Rovinné útvary sú množiny bodov v rovine, ide teda o dvojrozmerné útvary.
Trojuholník
Trojuholník je základný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy a tri strany. Výška v_a je vzdialenosť bodu A od priamky, na ktorej leží strana a. Teda je to vzdialenosť bodu A od päty kolmice na priamku BC vedenú bodom A.
Pytagorova veta popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka.
Veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov nad obomi jeho odvesnami.
Dĺžka odvesny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Dĺžka prepony a = \sqrt{c^2-b^2}.
Kruh a kružnica
Kružnica s daným stredom S a polomerom r je tvorená všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené presne o r.
Kruh s daným stredom S a polomerom r je tvorený všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené najviac o r. Kruh s daným stredom a polomerom je teda zjednotenie kružnice s rovnakým stredom a polomerom a jej vnútornou oblasťou. Stred S kruhu je bod, ktorý patrí do kruhu.
Priestorové útvary
Priestorové útvary sú množiny bodov v priestore, ide teda o trojrozmerné útvary.
Kocka, kváder
Kocka je priestorový útvar, ktorý má šesť stien, tvar každej steny je štvorec. Všetky hrany kocky majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé, teda ich veľkosť je 90°. Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov. Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky. Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac).
Hranol
Hranol je priestorový geometrický útvar, ktorý má dve zhodné podstavy umiestnené v rôznych rovinách. Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca. Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol.
Ihlan
Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Objem ihlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov.
Valec
Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah kruhovej podstavy. Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2\cdot S_p + S_{pl}. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2\pi \cdot r (výška valca a obvod jeho podstavy).
Guľa
Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov. Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie.
Kužeľ
Kužeľ je priestorový geometrický útvar s kruhovou podstavou. Zužuje sa smerom k jednému bodu zvanému vrchol. Ide o útvar, ktorý vznikne, keď sa okolo svojej osi otáča rovnoramenný trojuholník. Povrch kužeľa získame sčítaním obsahu základne a obsahu plášťa S = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r s, kde s je tzv. Krivky, ktoré vznikajú prienikom kužeľového povrchu s rovinou sa nazývajú kužeľosečky.
Na čo sú dobré integrály? Ako vznikol vzorec pre výpočet objemu gule | To ako prečo
Obsah a obvod
Obsah značíme S. Obsah vyjadruje, koľko „miesta v rovine“ útvar zaberá. Obvod značíme o. Obvod je súčet dĺžok čiar, ktoré útvar vymedzujú.
Obvod
Obvod lichobežníka je súčet dĺžok jeho strán.
Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Konštanta \pi sa tiež nazýva Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že nejde vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcom pre výpočet obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r.
Obsah
Obsah kruhu s polomerom r je S=\pi r^2. Konštanta \pi sa nazýva tiež Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že ho nie je možné vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obsahu a obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcami na výpočet obsahu a obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Žlté štvorce majú obsah r^2. Oranžový štvorec sa skladá zo štyroch žltých štvorcov, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový štvorec, čo zodpovedá tomu, že obsah kruhu je približne 3{,}14 \cdot r^2.
Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa.
Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc.
Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v.
Platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.
Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.
Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.
Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien.
Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom S_p a plášť s obsahom S_{pl}, vypočítame ako S=2S_p + S_{pl}.
Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho plášťa S_{pl}.
Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot S_p+S_{pl}. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom. Platí S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstav...
Výpočet gule vpísanej do rovnostranného kužeľa
Máme dva kužele s polomerom podstavy \(3\) a výškou \(8\). Ich osi symetrie zvierajú pravý uhol a pretínajú sa v bode, ktorý leží vnútri oboch kužeľov vo vzdialenosti \(3\) od základne každého kužeľu. Guľa s polomerom \(r\) leží vnútri oboch kužeľov.
Označme si trojuholníky a kružnicu tak ako na obrázku, \(T\) je bod dotyku kružnice so stranou \(AE\) a \(S\) je stred kružnice. Priamka \(QE\) je os súmernosti trojuholníka \(ADE\), a teda je kolmá na stranu \(AD\). Pozrime sa na trojuholníky \(AEQ\) a \(SET\). Majú spoločný uhol pri vrchole \(E\) a tiež každý má jeden pravý uhol - väčší trojuholník ho má pri vrchole \(Q\) a menší pri vrchole \(T\) (to je bod dotyku kružnice s \(AE\), a teda \(AE\) je kolmá na polomer \(ST\)). Na základe toho vieme povedať, že sú podobné. Teraz využijeme známe vzdialenosti a dorátame z nich polomer kružnice.
Teraz nám stačí si vybrať správne rovnosti z tých, ktoré nám ponúka podobnosť trojuholníkov. Zvoľme napríklad \[\frac{|ST|}{|SE|}=\frac{|AQ|}{|AE|}.\]
Odkiaľ môžeme vyjadriť polomer kružnice \(ST\) ako \[r=|ST|=|SE|\cdot\frac{|AQ|}{|AE|}\] a máme hotovo.
tags: #guľa #vpísaná #do #rovnostranného #kužeľa #výpočet
