Moment zotrvačnosti gule: Vzorec a jeho význam

V mechanike tuhého telesa je moment zotrvačnosti fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje mieru zotrvačných vlastností telesa pri otáčavom pohybe. Moment zotrvačnosti závisí od hmotnosti telesa a od rozloženia látky v telese. Jednotkou momentu zotrvačnosti je kg . m².

Ideálne tuhé teleso je definované ako teleso z pevnej látky, ktorého tvar a objem zostávajú nemenné aj pri pôsobení vonkajších síl. Pôsobením vonkajšej sily sa takéto teleso môže začať posúvať alebo otáčať.

Ilustrácia momentu zotrvačnosti

Guľa a jej vlastnosti

Guľa alebo presnejšie uzavretá guľa je množina všetkých bodov euklidovského priestoru, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (t.j. od tzv. stredu gule) nie je väčšia ako pevné reálne kladné číslo (t.j. ako tzv. polomer gule). Množina spomínaných bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu je práve rovná spomínanému pevnému reálnemu kladnému číslu, sa volá guľová plocha (iné názvy: hranica gule, sféra, sférická plocha).

Uzavretá guľa je teda inými slovami priestorové teleso "ukončené" guľovou plochou. Otvorená guľa alebo vnútro gule je uzavretá guľa bez guľovej plochy. V topológii znamená n-rozmerná guľa topologický priestor, ktorý je homeomorfný s n-rozmernou guľou v euklidovskom priestore .

Znázornenie gule

Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru.

Vzorec pre moment zotrvačnosti gule

Pre guľu je moment zotrvačnosti vyjadrený vzorcom:

J = 2/5 m . r²

Kde:

J - moment zotrvačnosti
m - hmotnosť gule
r - polomer gule

29.5 Hlboký ponor - Moment zotrvačnosti gule

Ďalšie príklady momentu zotrvačnosti telies

Pre lepšie pochopenie momentu zotrvačnosti uvádzame príklady pre iné telesá:

Pre tyč je moment zotrvačnosti J = m . r²
Pre kotúč je moment zotrvačnosti J = ½ m . r²

Otáčavý účinok sily na teleso závisí od:

Veľkosti pôsobiacej sily
Ramena sily

Rameno sily je kolmá vzdialenosť vektorovej priamky sily od osi otáčania. Otáčavý účinok sily na teleso opisuje fyzikálna veličina moment sily vzhľadom na os otáčania (M). Matematicky sa moment sily vyjadruje ako M = F . r.

Teleso	Moment zotrvačnosti (J)
Guľa	2/5 m . r²
Tyč	m . r²
Kotúč	½ m . r²

Stabilita telesa

V kontexte stability telesa platí, že teleso je tým stabilnejšie, čím väčšiu prácu treba vykonať na preklopenie telesa z rovnovážnej polohy stálej do vratkej. To znamená, že teleso je stabilnejšie, čím nižšie má ťažisko. Práca potrebná na preklopenie telesa sa dá vypočítať ako W = Fg . h = m . g . h.

Rovnovážne polohy tuhého telesa môžu byť:

Stála
Voľná (indiferentná)
Vratká (labilná)

Stála rovnovážna poloha nastáva, keď je ťažisko telesa najnižšie, čo zodpovedá najnižšej potenciálnej energii. Voľná rovnovážna poloha nastáva, keď je teleso zavesené v ťažisku a os otáčania prechádza ťažiskom. V tejto polohe sa výška ťažiska nemení, a teda ani potenciálna energia. Vratká rovnovážna poloha nastáva, keď je teleso zavesené pod ťažiskom a os otáčania je pod ťažiskom.