Analytická geometria: Definícia a základné pojmy

Analytická geometria, nazývaná aj súradnicová geometria, je oblasť matematiky, v ktorej sa geometrické útvary študujú pomocou ich analytických vyjadrení. So zvolenou súradnicovou sústavou vieme každý zo základných geometrických útvarov jednoznačne vyjadriť v tvare rovnice alebo nerovnice. Dôležitosť analytickej geometrie spočíva práve v tom, že vytvára spojenie medzi geometriou a algebrickými výrazmi, čím umožňuje preformulovať problémy v geometrii ako problémy v algebre a naopak.

Znázornenie priamky v analytickej geometrii

Základné pojmy

Pre potreby analytickej geometrie sa využívajú najmä karteziánske súradnicové sústavy. Karteziánska súradnicová sústava je sústavou navzájom na seba kolmých priamok, ktoré voláme osi súradnicovej sústavy. Tieto osi majú jediný spoločný bod, ktorý sa nazýva začiatok súradnicovej sústavy a označuje sa znakom O. Každá os je bodmi, ktoré na nej ležia rozdelená na rovnako veľké diely počnúc bodom O. Vzdialenosť medzi týmito bodmi, resp. Karteziánska súradnicová sústava je prostriedok, pomocou ktorého vieme každému bodu jednoznačne priradiť usporiadanú n-ticu reálnych čísel, ktoré voláme súradnice daného bodu.

Karteziánska sústava v priestore je sústavou zvyčajne tvorenou 3 osami (x,y,z), ktoré vytvárajú 3 súradnicové roviny. Najjednoduchšie objekty popísateľné analyticky sú body, úsečky a vektory v rovine alebo v priestore. V prípade priamok a rovín stále ešte ide o objekty popísateľné lineárnymi rovnicami alebo sústavami lineárnych rovníc.

Súradnice bodov väčšinou zapisujeme pomocou karteziánskej sústavy súradníc v rovine, ktorá má ako osi dve kolmé priamky. Vodorovná priamka sa tradične označuje x a súradnica pozdĺž tejto osi sa zapisuje prvá. Zvislá priamka sa tradične označuje y a súradnica pozdĺž tejto osi sa zapisuje druhá.

Súradnice bodov v rovine

Vektory

Karteziánske súradnice je možné použiť nielen na určenie polohy bodov, ale aj na určenie súradníc vektorov. Vektor je geometrický objekt určený dĺžkou, smerom a orientáciou. Je možné si ho predstaviť ako orientovanú úsečku - úsečku, na ktorej je vyznačený začiatočný a koncový bod. Býva znázornený ako šípka, čo sa prenieslo aj do spôsobu jeho notácie. Často ho totiž zapisujeme ako písmeno, nad ktorým je malá šípka. Ujalo sa však aj jeho značenie hrubou tlačou. Súradnice vektora sú rozdielom súradníc bodov, ktorými je určený.

Fakt, že vektor v má v trojrozmernom priestore súradnice v1, v2, v3 uvádzame zápisom v [ v1, v2, v3 ]. Ak je bod A [ a1, a2, a3 ] začiatočným bodom vektora v a bod B [b1, b2, b3] je jeho koncovým bodom, potom vektor v má súradnice [ b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3 ]. Dĺžka vektora je vzdialenosťou jeho začiatočného a koncového bodu. Pod pojmom polohový vektor rozumieme vektor začínajúci v začiatku súradnicovej sústavy končiaci v určitom bode.

Nulový vektor je výsledkom odčítania vektora od seba samého. Je to jediný vektor, ktorého dĺžka je nulová. Všetky súradnice tohto vektora sú rovné 0.
Jednotkový vektor je vektor vznikajúci vydelením vektora svojou vlastnou dĺžkou. Jeho dĺžka je tak rovná 1. Jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi x označujeme písmenom i, jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi y označujeme písmenom j a jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi z označujeme ako k.
Kolineárne vektory sú vektory, ktorých obrazy ležia na navzájom rovnobežných, prípadne splývajúcich priamkach. Komplanárnými vektormi sú vektory ležiace v tej istej rovine alebo v rovinách, ktoré sú navzájom rovnobežné.

Nech vektor v = AB a u = AC, potom ich súčet je vektor u + v = AB + AC. Vektor u+v môžeme znázorniť ako uhlopriečku rovnobežníka, ktorého stenami sú vektory u a v. Čísla c, d a e sú v tomto prípade koeficientami kombinácie. Ak sú v rovine dané dva nerovnobežné vektory (nekolineárne), tak každý vektor tejto roviny sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia daných vektorov. Vzhľadom na platnosť týchto tvrdení vieme každý vektor napísať v tvare lineárnej kombinácie vektorov bázy, kde koeficientami kombinácie sú súradnice vektora.

Skalárny súčin vektorov je jedinou operáciou s vektormi, ktorej výsledkom nie je vektor, ale skalár (konštanta). Vektorový súčin dvoch vektorov u a v, ktorý značíme ako u × v, je súčinom absolútnych hodnôt týchto vektorov a sin uhla nimi zovretého, ktorý je kolmý na smer oboch vektorov a orientovaný tak, aby bol systém tvorený trojicou usporiadaných vektorov [ u, v, u × v ] pravotočivou sústavou. Okrem samostatného skalárneho a vektorového súčinu vektorov poznáme aj zmiešaný súčin vektorov.

10 PRÍKLADOV NA | Vektory a operácie s nimi

Rovnice útvarov

Rovnica rovinného útvaru je vo všeobecnosti rovnicou s dvomi neznámymi x a y, ktorá určuje tento útvar na základe vyššie spomínaného pravidla. Spôsob, akým získame rovnicu útvaru, závisí od toho aké informácie o útvare sú k dispozícii. Predpokladajme, že poznáme súradnice bodu A[ x0, y0 ], ktorým je priamka určená a niektorý jej normálový vektor n. Potom ľubovoľný bod roviny X[ x, y ] leží na danej priamke práve vtedy, ak vektory X - A a n sú navzájom kolmé.

Geometrický význam týchto čísel spočíva v tom, že existuje normálový vektor n = [ a, b ] a číslo c, ktoré je rovné skalárnemu súčinu polohového vektora ľubovoľného bodu priamky s týmto normálovým vektorom. Takzvanou smernicou priamky je číslo k, ktoré je rovné tangensu uhla priamky s kladnou polosou osi x. Pre priamky rovnobežné s osou y neexistuje smernicová rovnica, keďže s osou x zvierajú uhol 90°, ktorého tangens nie je definovaný. Číslo q nazývané aj úsek priamky je y-ovou súradnicou priesečníka priamky s osou y.

Aby sme mohli zistiť smernicovú rovnicu priamky väčšinou musíme poznať jej smerový vektor a niektorý bod. Smerový vektor priamky p je každý vektor rovnobežný s touto priamkou. Vzhľadom na to môžeme pomocou vyššie uvedeného vzorca získať smernicu rovnice, keďže tangens uhla môžeme vypočítať ako podiel protiľahlej a priľahlej odvesny. Ak máme daný niektorý bod priamky X0 = [ x0, y0 ] a jej smerový vektor s [ s1, s2 ], tak ľubovoľný bod roviny X = [ x, y ] leží na danej priamke práve vtedy, ak sú vektory X - X0 a s navzájom rovnobežné.

Kužeľosečky

Kužeľosečka je rovinná krivka vzniknutá rezom rotačnej kužeľovej plochy rovinou neprechádzajúcou jej vrcholom. Krivka vznikajúca rezom dvoj-kužeľa rovinou kolmou na jej os je kružnica.

Rôzne typy kužeľosečiek

Kružnica je množina bodov s rovnakou vzdialenosťou r (polomer kružnice) od bodu S = [ x0, y0 ], ktorý je jej stredom.
Elipsa je geometrický útvar vznikajúci rezom dvoj-kužeľa šikmou rovinou. Elipsu je možné definovať ako množinu všetkých bodov roviny, ktorých súčet vzdialeností od dvoch rôznych bodov je konštantný a väčší ako vzdialenosť daných bodov, nazývaných ohniská.
Parabola je krivkou vznikajúcou „otvoreným“ rezom dvoj-kužeľa šikmou rovinou. Odbornejšie povedané je parabola množinou bodov s rovnakou vzdialenosťou od priamky a od bodu, ktorý na nej neleží, t.j. množina bodov, ktorých podiel vzdialeností od daného bodu a priamky je rovný 1.
Hyperbola vzniká dvojitým rezom dvoj-kužeľa rovinou rovnobežnou s jeho osou. Je to množina všetkých bodov roviny, ktorých rozdiel vzdialeností v absolútnej hodnote od daných dvoch rôznych bodov je konštantný a menší ako ich vzájomná vzdialenosť. Dané body sa nazývajú ohniská hyperboly.

Rovnica priestorového útvaru je vo všeobecnosti rovnicou s tromi neznámymi x, y a z, ktorá rovnako ako rovnica rovinného útvaru určuje tento útvar na základe pravidla spomínaného v časti Základné pojmy. Geometrický význam týchto čísel je podobný ako pri všeobecnej rovnici priamky v rovine. Parametrické rovnice priamky v priestore sú podobné tým v rovine. Ak poznáme niektorý bod roviny X0 = [ x0, y0, z0 ] a jej dva nerovnobežné smerové vektory r [ r1, r2, r3 ] a s [s1, s2, s3 ], tak ľubovoľný bod priestoru X [ x, y, z ] leží v tejto rovine práve vtedy, ak X - X0 je lineárnou kombináciou vektorov r a s. Parametrické rovnice danej roviny získame rozpísaním tejto rovnice do súradníc. Každá rovina má nekonečne veľa parametrických vyjadrení. Práca s parametrickými rovnicami roviny je však vo väčšine prípadov pomerne komplikovaná, čo je dôvodom, prečo sa takéto rovnice prakticky takmer vôbec nevyužívajú.

Pod pojmom guľová plocha chápeme množinu bodov priestoru, ktoré majú od daného pevného bodu S rovnakú vzdialenosť r nazývanú polomer.

Využitie analytickej geometrie

Dva významné typy problémov, ktoré riešime v rámci analytickej geometrie sú polohové úlohy, v ktorých vyšetrujeme vzájomnú polohu geometrických objektov, a metrické úlohy, v ktorých počítame konkrétnu číselnú hodnotu výsledku, ako je napr. vzdialenosť dvoch objektov.

Geometria rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote - pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov.

tags: #rezy #analytická #geometria #definícia