Vlastnosti kocky, gule a valca: Prehľad základných geometrických útvarov

Priestorové útvary sú množiny bodov v priestore, ide teda o trojrozmerné útvary. Geometrické útvary sú základnými stavebnými kameňmi geometrie. Geometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom tvarov, veľkostí a vlastností priestorových objektov.

Medzi základné priestorové geometrické útvary patria kocka, kváder, hranol, ihlan, valec, kužeľ a guľa. Tento článok poskytuje prehľad základných geometrických útvarov a ich vlastností.

Kocka

Kocka je priestorový útvar, ktorý má šesť stien, pričom tvar každej steny je štvorec. Všetky hrany kocky majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé, teda ich veľkosť je 90°. Kocka alebo pravidelný šesťsten je trojrozmerné teleso (mnohosten) a steny sú tvorené šiestimi rovnakými štvorcami. Je špeciálnym prípadom kvádra, ktorého všetky hrany majú rovnakú dĺžku. Kocka patrí medzi tzv. platónske telesá, lebo má zhodné všetky strany a hrany.

Povrch kocky je S = 6 a², objem je V = a³.

Rubikova kocka je mechanický hlavolam, ktorý roku 1974 vynašiel maďarský sochár a architekt Ernő Rubik. Rubikova kocka je plastová kocka a skladá z menších rôznofarebných kociek. Malé kocky sú spojené pohyblivým mechanizmom, ktorý ju umožňuje otáčať o násobok 90 stupňov. Rubikova kocka má v zloženom stave každú stranu jednej farby. Úlohou je poskladať kocku po rozhraní jednotlivých farieb do pôvodného stavu.

Rubikova kocka

Kváder

Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov. Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky. Kváder je trojrozmerné teleso (mnohosten), ktorého steny tvorí šesť pravouhlých štvoruholníkov (väčšinou obdĺžnikov, ale existujú aj špeciálne prípady). Jeho podstavou je obdĺžnik. Kváder obsahuje tri skupiny rovnobežných hrán zhodnej dĺžky (v rámci skupiny). Tieto dĺžky sú označené ako dĺžka, šírka a výška kvádra.

Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac). Objem kvádra je V = abc.

Hranol

Hranol je priestorový geometrický útvar, ktorý má dve zhodné podstavy umiestnené v rôznych rovinách. Hranol je mnohosten, ktorého dve steny ležia v rovnobežných rovinách. Tieto dve steny označujeme ako podstavy. Ostatné, bočné steny tvoria plášť hranola. Povrch hranola je tvorený všetkými jeho stenami. Strany podstavy hranola nazývame podstavnými hranami. Hrany, ktoré nie sú podstavnými, nazývame bočné hrany.

Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca. Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol. Kolmý hranol je teleso, ktorý má bočné hrany kolmé na roviny podstáv, tvorené mnohouholníkom (podľa toho, koľko strán majú podstavy, môže byť hranol trojboký, štvorboký a päťboký).

Povrch hranola je S =2 Sp + Spl, objem je V = Sp .Vh.

Ihlan

Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Ihlan je teleso, v ktorom sú rohy rovinného mnohouholníka (základne) priamočiaro spojené s nejakým bodom (vrchol ihlana) nachádzajúcim sa mimo roviny tohto mnohouholníka.

Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Špeciálnymi druhmi ihlana sú kvadratický ihlan, ktorého základňou je štvoruholník, a tetraéder, ktorého základňa je trojuholník. Pravidelný ihlan je teleso, ktorého základňa je pravidelný mnohouholník a vrchol sa nachádza nad jeho stredom.

Objem ihlanu V = ¹/₃ S_p * v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov.

Povrch ihlana je S = Sp + Spl , objem je V = Sp . v.

Valec

Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=S_p * v, kde S_p je obsah kruhovej podstavy. Valec je oblé teleso, ktoré získame ako prienik valcového priestoru a rovinnej vrstvy. Rotačný valec je teleso s rovnobežnými kruhovými podstavami rovnakého polomeru a výška valca je kolmá na roviny podstáv.

Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2 * S_p + S_pl. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2π * r (výška valca a obvod jeho podstavy). Povrch valca je S = 2 S + Q, objem je V = S . v.

Ako nájsť povrch valca | Matematika s pánom J.

Guľa

Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Guľa je množina všetkých bodov trojrozmerného priestoru, ktoré majú od stredu S vzdialenosť menšiu alebo rovnakú ako polomer r. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov. Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie.

Kužeľ

Kužeľ je priestorový geometrický útvar s kruhovou podstavou. Kužeľ je oblé teleso, ktoré získame ako prienik kužeľovitého priestoru a rovinnej vrstvy. Zužuje sa smerom k jednému bodu zvanému vrchol. Ide o útvar, ktorý vznikne, keď sa okolo svojej osi otáča rovnoramenný trojuholník. Kruhový kužeľ je taký, ktorého podstavou je kruh a rotačný kužeľ vznikne, ak kolmica spustená z vrcholu na rovinu podstavy prechádza stredom podstavy kruhového kužeľa.

Povrch kužeľa získame sčítaním obsahu základne a obsahu plášťa S = π * r² + π * r * s, kde s je tzv. Krivky, ktoré vznikajú prienikom kužeľového povrchu s rovinou sa nazývajú kužeľosečky. Povrch kužeľa je S = πr (r + s), objem je V = πr² . v .

Tabuľka základných vzorcov pre výpočet objemu a povrchu telies:

Teleso	Povrch	Objem
Kocka	S = 6 a²	V = a³
Kváder	S = 2 (ab + bc + ac)	V = abc
Hranol	S =2 Sp + Spl	V = Sp .Vh
Ihlan	S = Sp + Spl	V = Sp . v
Valec	S = 2 S + Q	V = S . v
Kužeľ	S = πr (r + s)	V = πr² . v

tags: #valec #gula #kocka #vlastnosti