Dvojciferné čísla s rovnakými ciframi: Metódy riešenia úloh

Úlohy zamerané na hľadanie čísel, ktoré spĺňajú určité vlastnosti, sú bežnou súčasťou matematických súťaží a olympiád. Tieto úlohy často vyžadujú kombináciu logického myslenia, algebraických zručností a systematického prístupu. V tomto článku sa pozrieme na rôzne typy úloh s dvojcifernými číslami a ukážeme si, ako ich efektívne riešiť.

Riešenie pomocou premenných a rovníc

V úlohách, kde máme nájsť čísla s určitými vlastnosťami cifier, je užitočné označiť si cifry písmenami. Napríklad, dvojciferné číslo môžeme označiť ako \overline{AB}, kde A a B sú cifry tohto čísla. Dôležité je mať na pamäti, že \overline{AB} nereprezentuje súčin A a B, ale dvojciferné číslo, preto používame čiarku nad symbolom.

Pri riešení úloh s dvojcifernými číslami je dôležité vymedziť, aké hodnoty môžu cifry nadobúdať. Napríklad, žiadna cifra nemôže byť 0, ak hľadáme dvojciferné čísla. Takisto, ak máme dve dvojciferné čísla, kde prvé je menšie ako druhé, môžeme odvodiť vzťahy medzi ich ciframi.

Príklad: Fordova rýchlosť a míľniky

Predstavme si situáciu, kde Ford prechádza popri míľnikoch s číslami. Prvý míľnik má číslo v tvare \overline{AB}, druhý \overline{BA} a tretí buď \overline{A0B} alebo \overline{B0A}. Našou úlohou je zistiť, aké sú hodnoty týchto míľnikov, ak vieme, že Ford ide konštantnou rýchlosťou.

Vieme, že hodnota tretieho míľnika je súčtom Fordovej rýchlosti a hodnoty na druhom míľniku. Keďže Fordova rýchlosť je rozdielom hodnôt na druhom a prvom míľniku, a tie sú obe dvojciferné, aj jeho rýchlosť bude najviac dvojciferná. Tretí míľnik je teda súčtom dvoch dvojciferných čísel, čo znamená, že jeho hodnota nemôže byť väčšia ako 198. Z toho vyplýva, že jedna z cifier A alebo B musí byť 1. Keďže žiadna cifra nemôže byť 0 a Ford ide stále konštantnou rýchlosťou, druhý míľnik bude musieť byť väčší ako prvý, takže A < B.

Riešenie pomocou skúšania

V tomto momente môžeme pokračovať viacerými spôsobmi. Jedným z nich je systematické skúšanie. Vytvoríme si tabuľku, kde pre každé B vypočítame hodnotu tretieho míľniku a porovnáme ju s požadovanou hodnotou \overline{A0B}:

B	Výpočet	\overline{10B}
2	21 + (21 - 12) = 30	102
3	31 + (31 - 13) = 49	103
4	41 + (41 - 14) = 68	104
5	51 + (51 - 15) = 87	105
6	61 + (61 - 16) = 106	106
7	71 + (71 - 17) = 125	107

Ďalej už skúšať netreba, pretože hodnoty na treťom míľniku sa budú len zväčšovať a nebudú mať na mieste desiatok 0. Z tabuľky vidíme, že riešením sú míľniky 16, 61 a 106. Rozdiel medzi nimi je vždy 45, čo je aj Fordova rýchlosť.

Riešenie pomocou rovníc

Ďalším spôsobom je zapísať vzťah medzi míľnikmi pomocou rovnice:

\overline{B1} + (\overline{B1} - \overline{1B}) = \overline{10B}

Takéto rovnice, kde neznáme znamenajú cifry, sú nepraktické. Vieme ale, že pre číslo \overline{B1} platí, že \overline{B1} = 10 \cdot B + 1.

\begin{aligned}10 \cdot B + 1 + 10 \cdot B + 1 - 10 - B &= 100 + B \20 \cdot B - B + 2 - 8 &= 100 + B \19 \cdot B - 8 &= 100 + B &/+ 8, - B \18\cdot B &= 108 \B &= 6\end{aligned}

Z tohto nám opäť vyšlo B = 6, rovnako ako v riešení pomocou skúšania.

Feynmanovi študenti a ich body

Ďalším typom úlohy môže byť zisťovanie minimálneho počtu študentov, ktorí dosiahli rovnaký počet bodov v teste. Predstavme si, že Feynmanovi žiaci písali test s dvoma otázkami. Za správnu odpoveď získali 3 body, za nesprávnu -1 bod a za neodpovedanie 1 bod. Našou úlohou je zistiť, koľko najmenej študentov muselo písať test, aby sme mali istotu, že aspoň 4 študenti dosiahli rovnaký počet bodov.

Najskôr sa pozrieme, aké jednotlivé počty bodov mohli študenti dosiahnuť. Máme 3 možnosti pre každú otázku, takže dokopy 3 \cdot 3 = 9 možností. Jednotlivé možnosti vyzerajú takto:

Počet bodov z prvej otázky	Počet bodov z druhej otázky	Spolu
3	3	6
3	1	4
3	-1	2
1	3	4
1	1	2
1	-1	0
-1	3	2
-1	1	0
-1	-1	-2

Z tabuľky vidíme, že je 5 rôznych počtov bodov z testu (6, 4, 2, 0, -2). Teraz sa môžeme zamyslieť, ako nájdeme najmenší počet študentov taký, kde určite majú aspoň 4 študenti rovnaký počet bodov. Čo tak sa na to pozrieť z opačnej strany? Ideme nájsť najväčší počet študentov kde sa taká skupinka nutne nemusí nachádzať. To znamená, že existuje aspoň 1 rozdelenie, kde všetky skupiny budú obsahovať menej ako 4 študentov. Pozrime sa na prípad, že máme 15 študentov. Pri tomto počte ich vieme rozdeliť do piatich skupín po 3 (toto rozdelenie nazvyme "vyvážené"). Ako vidíme je to jediné rozdelenie 15 študentov, kde všetky skupinky maju pod 4 študentov. Iné rozdelenie dosiahneme tým, že vo vyváženom rozdelení premiestnime nejakých študentov z jednej skupinky do druhej. Toto nám ale zaručí vznik skupinky s aspoň 4 študentmi, keďže pridáme nejakých študentov do skupinky s 3 študentmi. Pridaním 16. študenta máme zaručené, že aspoň jedna skupinka bude mať aspoň 4 študentov. Všetky rozdelenia 15 okrem vyváženého už obsahujú skupinku aspoň 4 študentov. To znamená, že aj po pridaní študenta bude takáto skupinka existovať. To znamená, že v triede muselo byť aspoň 16 študentov.