Geometria: Základy, útvary a výpočty

Geometria je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom tvarov, veľkostí a priestorových vzťahov medzi objektami. Geometria rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote - pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov.

Prechádzate súhrny informácií k určitým témam. Systémy Vieme sa zameriavajú hlavne na ich precvičovanie. K cvičeniam k jednotlivým podtémam sa dostanete pomocou odkazov nižšie.

OBJEM KOCKY | Ako ho vypočítame?

Priestorová predstavivosť

Priestorová predstavivosť nám pomáha vnímať a rozumieť tvarom okolo nás, či už na papieri alebo v skutočnom svete.

Priestorová predstavivosť v rovine

Predstavivosť v rovine využívame bez toho, aby sme si to uvedomili, v každodennom živote - pri orientácii v meste, v prírode, pri práci s mapou aj pri pohľade do zrkadla. Pri dopĺňaní v rovine budeme pracovať nie len so základnými rovinnými útvarmi, ale aj s ich kombináciami - hviezdy, domčeky, siete.

Pri riešení úloh je vhodné si, v duchu alebo na papieri, predstaviť, ako má výsledný tvar vyzerať. Pri otočení ani preklopení nemenia jednotlivé časti objektov svoje vzájomné polohy. Prevrátenie je osová súmernosť.

Nárys, bokorys a pôdorys

Pri zobrazení 3D objektov často využívame pravouhlé premietanie z prednej, bočnej a hornej strany, tzv. Nárys, bokorys a pôdorys sa používajú k dvojrozmernému zakresleniu trojrozmerného objektu pomocou pravouhlého premietania.

Siete telies

Sieť telesa je rovinné zakreslenie, z ktorého je možné poskladať plášť telesa. Sieť telesa je väčšinou možné zakresliť mnohými rôznymi spôsobmi.

Rezy telies

Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky. Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť.

Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine. Keď poznáme v stene telesa dva rôzne body, ktoré oba ležia v rovine rezu, nakreslíme ich spojnicu. Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach. Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode. Týmto bodom prechádzajú všetky tri priesečnice jednotlivých dvojíc rovín. Body K, M ležia v jednej rovine - v prednej stene ABFE. Rovnako tak body L, M ležia v jednej rovine - v dolnej stene ABCD. Bod K leží v hornej stene EFGH. Tá je rovnobežná so stenou ABCD.

Zostrojiť rez telesa znamená zostrojiť prienik roviny a telesa. Keď poznáme jednu stranu rezu, môžeme ju pretiahnuť do ostatných stien. Priesečníky s ostatnými stenami určíme tak, že pretiahneme spoločnú hranu steny, kde leží známa úsečka rezu a steny, v ktorej chceme rez nájsť. Zovšeobecnením tohto princípu je tzv. Nájdeme priesečnicu roviny podstavy a roviny rezu. V stene BCV leží hrana podstavy BC a úsečka LM. Rovnakým spôsobom získame spoločný bod Q troch rovín: roviny steny ABV, roviny podstavy a roviny rezu. Pretiahnutím hrany AD získame na priesečnici bod R. Rezom gule je vždy kružnica.

Geometrické pojmy

Na rozdiel od bežného jazyka, kde majú slová väčšinou niekoľko významov, v matematike používame pojmy s presne definovaným významom. To je veľmi užitočné, pretože sa vďaka tomu môžeme vyjadrovať stručne a pritom jednoznačne.

Pozn. Presné definície rovnoramenného trojuholníka sa líšia: niektorí autori vyžadujú „aspoň“ dve strany zhodné, iní „presne“ dve strany zhodné.

Rovinné útvary

Rovinné útvary sú množiny bodov v rovine, ide teda o dvojrozmerné útvary.

Trojuholník

Trojuholník je základný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy a tri strany. Výška v_a je vzdialenosť bodu A od priamky, na ktorej leží strana a. Teda je to vzdialenosť bodu A od päty kolmice na priamku BC vedenú bodom A.

Pojmy súvisiace s trojuholníkom (napr. ťažnice, výšky, vpísané a opísané kružnice).

Konštrukčné úlohy s trojuholníkmi (narysovanie trojuholníkov na základe zadaných údajov, napr. Konštrukcie trojuholníkov: ťažnice, výšky, vpísané a opísané kružniceKonštrukčné úlohy prierezovo

Pytagorova veta

Pytagorova veta popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov nad obomi jeho odvesnami.

Dĺžka odvesny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Dĺžka prepony a = \sqrt{c^2-b^2}.

Pytagorejské trojice sú trojice celých čísel, ktoré spĺňajú a^2+b^2=c^2, teda trojuholník s príslušnými dĺžkami strán je pravouhlý. Ďalšie príklady pytagorejských trojíc: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Medzi pytagorejské trojice patria tiež všetky násobky týchto trojíc, napr. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26).

V prípade štvorca so stranou a tvorí uhlopriečka preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkou a. Pre dĺžku uhlopriečky u teda platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.

V prípade rovnostranného trojuholníka so stranou a tvorí výška odvesnu pravouhlého trojuholníka s preponou s dĺžkou a a odvesnou s dĺžkou \frac{a}{2}. Pre dĺžku výšky v teda platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostávame v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}.

Štvorec a obdĺžnik

Obdĺžnik patrí medzi štvoruholníky.

Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné.

Kruh a kružnica

Kružnica s daným stredom S a polomerom r je tvorená všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené presne o r. Kruh s daným stredom S a polomerom r je tvorený všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené najviac o r.

Kruh s daným stredom a polomerom je teda zjednotenie kružnice s rovnakým stredom a polomerom a jej vnútornou oblasťou. Stred S kruhu je bod, ktorý patrí do kruhu.

Priestorové útvary

Priestorové útvary sú množiny bodov v priestore, ide teda o trojrozmerné útvary.

Kocka, kváder

Kocka je priestorový útvar, ktorý má šesť stien, tvar každej steny je štvorec. Všetky hrany kocky majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé, teda ich veľkosť je 90°. Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov.

Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky. Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac).

Hranol

Hranol je priestorový geometrický útvar, ktorý má dve zhodné podstavy umiestnené v rôznych rovinách. Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca. Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol.

Ihlan

Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu.

Objem ihlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu).

Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov.

Valec

Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah kruhovej podstavy. Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2\cdot S_p + S_{pl}. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2\pi \cdot r (výška valca a obvod jeho podstavy).

Guľa

Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov.

Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie.

Kužeľ

Kužeľ je priestorový geometrický útvar s kruhovou podstavou. Zužuje sa smerom k jednému bodu zvanému vrchol. Ide o útvar, ktorý vznikne, keď sa okolo svojej osi otáča rovnoramenný trojuholník.

Povrch kužeľa získame sčítaním obsahu základne a obsahu plášťa S = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r s, kde s je tzv. Krivky, ktoré vznikajú prienikom kužeľového povrchu s rovinou sa nazývajú kužeľosečky.

Obsah a obvod

Obsah značíme S. Obsah vyjadruje, koľko „miesta v rovine“ útvar zaberá. Obvod značíme o. Obvod je súčet dĺžok čiar, ktoré útvar vymedzujú.

Obvod lichobežníka

Obvod lichobežníka je súčet dĺžok jeho strán.

Obvod kruhu, dĺžka kružnice

Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Konštanta \pi sa tiež nazýva Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že nejde vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave.

Pri výpočte obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcom pre výpočet obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r.

Majme kruh s polomerom 3 cm. Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metra.

Obsah trojuholníka

Trojuholník ABC: Dĺžka strany \left| AB \right| je 2. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_c je 3. Trojuholník DEF: Nevadí nám, že trojuholník na náčrtku vyzerá zvláštne natočený. Poznáme dĺžku strany \left| DE \right|, čo je 3. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_f je 4. Trojuholník GHI: Nevadí nám ani keď je päta kolmice, na ktorej leží výška, mimo stranu trojuholníka. Dĺžka strany \left| GH \right| je 1. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_i je 2. Trojuholník JKL: S pravouhlým trojuholníkom si tiež poradíme. Dĺžka strany \left| JK \right| je 4. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_l je 3 (a je to zároveň aj dĺžka strany KL nášho trojuholníka). Intuíciu za týmto vzorčekom je vidieť na nasledujúcom obrázku. Prvý trojuholník má výšku v príslušnú k strane dĺžky a. Druhý trojuholník má výšku v príslušnú k strane dĺžky c.

Obsah kruhu

Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Obsah kruhu s polomerom r je S=\pi r^2. Konštanta \pi sa nazýva tiež Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že ho nie je možné vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave.

Pri výpočte obsahu a obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcami na výpočet obsahu a obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Žlté štvorce majú obsah r^2. Oranžový štvorec sa skladá zo štyroch žltých štvorcov, takže má obsah 4\cdot r^2.

Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový štvorec, čo zodpovedá tomu, že obsah kruhu je približne 3{,}14 \cdot r^2. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Majme kruh s polomerom 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm. Kružnica s priemerom 2 cm má obvod \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm.

Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metru. Ak ho chceme obísť po jeho okrajovej čiare, prejdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrov.

Objem a povrch

Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa.

Objem kocky a kvádra

Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom.

Objem ihlanu

Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v.

Objem valca

Platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.

Objem kužeľa

Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.

Objem guľatých telies

Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.

Povrch kvádra

Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien.

Povrch hranola

Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom S_p a plášť s obsahom S_{pl}, vypočítame ako S=2S_p + S_{pl}.

Povrch ihlanu

Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho plášťa S_{pl}. Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot S_p+S_{pl}. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom. Platí S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstav... Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky. Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť.

Tabuľka základných geometrických vzorcov:

Útvar	Obsah	Obvod	Objem	Povrch
Štvorec	a²	4a	-	-
Obdĺžnik	a * b	2a + 2b	-	-
Kruh	πr²	2πr	-	-
Kocka	-	-	a³	6a²
Kváder	-	-	a * b * c	2(ab + bc + ca)

tags: #rezy #telies #geometrie