Rýchly úvod do teórie pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom náhodných javov. Je to kľúčový nástroj v mnohých vedných odboroch, od fyziky a inžinierstva po ekonómiu a medicínu. Tento článok poskytuje stručný úvod do základných konceptov teórie pravdepodobnosti.

Cieľ predmetu: Študent získa vedomosti z teórie pravdepodobnosti, definície a klasifikácie stochastických procesov, o generátoroch náhodných čísel, diskrétnom a spojitom Markovovom modeli, o procesoch vzniku a zániku, systémoch hromadnej obsluhy, otvorených a uzavretých obslužných sieťach, nemarkovovských systémoch hromadnej obsluhy. Dokáže vypočítať základné charakteristiky systémov hromadnej obsluhy.

Graf normálneho rozdelenia

Základné pojmy

  • Náhodný jav: Udalosť, ktorej výsledok je neistý.
  • Pravdepodobnosť: Číselná hodnota medzi 0 a 1, ktorá vyjadruje mieru očakávania, že náhodný jav nastane.
  • Náhodná premenná: Premenná, ktorej hodnota je výsledkom náhodného javu.

Stručná osnova predmetu

Úvod do teórie pravdepodobnosti: definície, podmienená pravdepodobnosť, Bayesova veta.

Diskrétne náhodné premenné, rozdelenia: binomické, geometrické, Poissonove.

Spojité náhodné premenné, rozdelenia: rovnomerné, exponenciálne, gamma, normálne.

Metódy generovania náhodných čísel s daným rozdelením: inverzná funkcia, vylučovacia metóda.

Diskrétny Markovov reťazec: generujúca funkcia, Chapmanova‑Kolmogorovova rovnica, proces vzniku a zániku.

Spojitý Markovov reťazec: proces vzniku a zániku.

Systémy hromadnej obsluhy

Základné systémy hromadnej obsluhy: M/M/1/: 1 server, nekonečný rad, M/M/1/ so spomaľujúcimi sa príchodmi, M/M//: nekonečný počet serverov, nekonečný rad, M/M/m/: m serverov, nekonečný rad.

Základné systémy hromadnej obsluhy: M/M/1/K: konečný rad, M/M/m/m: m servermi obmedzený počet požiadaviek v systéme, M/M/1//M: konečná populácia požiadaviek, jeden server, M/M///M: konečná populácia požiadaviek, nekonečný počet serverov, M/M/m/K/M: konečná populácia požiadaviek, m serverov, konečný rad.

Špeciálne systémy hromadnej obsluhy:: SHO s osobitnou štruktúrou kanálov, SHO s ohraničeným čakaním, SHO so skupinovými vstupmi a so skupinovou obsluhou, SHO s prioritami.

Zložené systémy hromadnej obsluhy: viacfázové systémy hromadnej obsluhy ‑ sériové systémy, dvojfázový otvorený systém M/M/1/ ‑ M/M/1/‑ sériový, dvojfázový systém s blokovaním 1. systému M/M/1/ ‑ M/M/1/1‑ sériový.

Otvorené Jacksonove obslužné siete.

Uzavreté obslužné siete.

Niektoré nepoissonovské systémy hromadnej obsluhy: M/G/1/ ‑ systém s poissonovským vstupom a ľubovoľne rozdeleným časom obsluhy, G/M/1/ ‑ systém s nepoissonovským vstupom a exponenciálne rozdeleným časom obsluhy, M/Er/1/ ‑ systém s poissonovským vstupom a erlangovsky rozdeleným časom obsluhy r‑tého rádu, Er/M/1/ ‑ systém s erlangovským vstupom r‑tého rádu a exponenciálnym časom obsluhy.

Podmienená pravdepodobnosť a Bayesova veta

  • Podmienená pravdepodobnosť je pravdepodobnosť, že nastane udalosť A za predpokladu, že nastala udalosť B.
  • Bayesova veta je matematický vzťah, ktorý umožňuje aktualizovať pravdepodobnosť udalosti na základe nových dôkazov.

Diskrétne a spojité náhodné premenné

  • Diskrétna náhodná premenná môže nadobúdať len určité hodnoty (napr. celé čísla). Príkladom je počet hláv pri hode mincou.
  • Spojitá náhodná premenná môže nadobúdať akúkoľvek hodnotu v určitom intervale. Príkladom je výška človeka.

Príklad grafického znázornenia rozdelenia pravdepodobnosti

Markovove reťazce

Markovov reťazec je matematický systém, ktorý prechádza z jedného stavu do druhého medzi konečným alebo spočítateľným počtom stavov. Dôležitou vlastnosťou je, že budúci stav závisí len od súčasného stavu a nie od predchádzajúcich stavov (vlastnosť Markov).

Diskrétny Markovov reťazec: generujúca funkcia, Chapmanova‑Kolmogorovova rovnica, proces vzniku a zániku.

Spojitý Markovov reťazec: proces vzniku a zániku.

Podmienky absolvovania predmetu

  • Aktívna práca na cvičeniach 10%
  • Testy počas semestra 30%
  • Skúška ‑ písomná forma 60%

Podmienky na pripustenie ku skúške: žiadna neospravedlnená neúčasť, max. 2 neúčasti na cvičeniach.

Konečné hodnotenie študenta známkou je dané aktuálnym študijným poriadkom.

Odporúčaná literatúra a zdroje

  • POLEC, J., KARLUBÍKOVÁ, T., VARGIC, R. Pravdepodobnostné modely v telekomunikáciách. Bratislava : STU v Bratislave FEI, 2007. 167 s. ISBN 978‑80‑227‑2641‑2.
  • GROSS, D., HARRIS, C M. Fundamentals of queueing theory. New York : John Wiley & Sons, 1998. 439 s. ISBN 0‑471‑17083‑6.
  • KLEINROCK, L. Queueing systems. Vol. 1: Theory. New York : J. Wiley, 1976. 417 s.
  • POLEC, J., KARLUBÍKOVÁ, T. Stochastické modely v telekomunikáciách 1. Bratislava : FABER, 1999. 128 s.

Teória pravdepodobnosti je rozsiahla oblasť s mnohými aplikáciami. Tento úvod poskytuje len základný prehľad, ale dúfajme, že poslúži ako východiskový bod pre ďalšie štúdium.

Pravděpodobnost - úvod | Pravděpodobnost | Matematika | Khan Academy

tags: #rýchly #úvod #do #teórie #pravdepodobnosti

Populárne príspevky: