Výpočet obvodov a obsahov gule: Vzorce a príklady

Tento článok sa zaoberá problematikou výpočtu obvodov a obsahov gule, pričom sa zameriava na vzťahy medzi rotačným valcom a guľou, ktorá je mu opísaná. Vysvetlíme si základné pojmy, vzorce pre výpočet objemu a povrchu valca a gule. Nakoniec sa pozrieme na špecifický prípad, keď je guľa opísaná rotačnému valcu.

Základné pojmy

Pre lepšie pochopenie problematiky je dôležité definovať si základné geometrické pojmy:

Rotačný valec: Teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.
Guľa: Teleso, ktorého povrch tvoria všetky body v priestore, ktoré sú rovnako vzdialené od daného pevného bodu (stredu gule). Vzdialenosť od stredu ku ktorémuľvek bodu na povrchu gule sa nazýva polomer (r).
Opísaná guľa: Guľa, ktorá obsahuje všetky vrcholy daného telesa (v našom prípade rotačného valca) na svojom povrchu.

Vzorce pre rotačný valec

Pre rotačný valec s polomerom podstavy r a výškou v platí:

Objem (V): V = S_p * v, kde S_p je obsah podstavy. Keďže podstava je kruh, S_p = πr². Teda, objem valca je V = πr²v.
Povrch (S): S = 2S_p + S_pl, kde S_p je obsah podstavy a S_pl je obsah plášťa. Obsah podstavy je πr², a obsah plášťa je obvod podstavy krát výška, teda 2πrv. Teda, povrch valca je S = 2πr² + 2πrv = 2πr(r + v).

Vzorce pre guľu

Pre guľu s polomerom R platí:

Objem (V): V = (4/3)πR³
Povrch (S): S = 4πR²

OBJEM GULE - ako ho VYPOČÍTAME?

Vzťah medzi rotačným valcom a opísanou guľou

Ak je guľa opísaná rotačnému valcu, znamená to, že všetky vrcholy valca ležia na povrchu gule.

Výpočet polomeru opísanej gule

Predstavme si rez valca a gule rovinou, ktorá prechádza stredom gule a osou valca. V reze dostaneme kruh (rez gule) a obdĺžnik (rez valca). Uhlopriečka tohto obdĺžnika je priemer kruhu (2R). Polomer opísanej gule sa dá vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

R = √((v² + 4r²) / 4) = √(v² + 4r²) / 2

Tento vzorec nám umožňuje vypočítať polomer gule, ktorá je opísaná rotačnému valcu, ak poznáme polomer a výšku valca.

Príklad

Majme rotačný valec s polomerom podstavy r = 3 cm a výškou v = 8 cm.

Objem a povrch telies

Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“.

Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa.

Objem hranatých telies

Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom.

Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v.

Pre valec platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.

Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.

Objem guľatých telies

Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty π ≈ 3,14159265.

Povrch hranatých telies

Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom.

Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom S_p a plášť s obsahom S_{pl}, vypočítame ako S=2S_p + S_{pl}. Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot S_p+S_{pl}.

Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho plášťa S_{pl}.

Povrch guľatých telies

Platí S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstavy valca a S_{pl} obsah plášťa valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r a plášť valca je obdĺžnik so stranami v a 2πr.

Povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty π ≈ 3,14159265.

Môže sa stať, že poznáme polomer r podstavy kužeľa a jeho výšku v, ale nemáme zadanú jeho stranu s.

História výpočtov objemov a povrchov

Výpočty objemov a povrchov telies majú bohatú históriu, ktorá siaha až do staroveku.

Staroveký Egypt

Egyptská civilizácia patrí medzi najstaršie. Jej vývoj bol dlhé storočia ovplyvňovaný teplým podnebím, púšťou a záplavami Nílu. Práve vymeriavanie pozemkov, ktoré boli každoročne zaplavované Nílom, viedlo k potrebám geometrie (gé - zem, metrein - merať) a k prvým geometrickým výpočtom egyptskej matematiky.

Úlohy o obsahu kruhu sú uvedené na Londýnskom papyruse, kde d je priemer kruhu. Na výpočet objemu používali štandardný postup - obsah kruhovej podstavy vynásobili výškou. Zaujímavé je, že v zachovaných textoch nenájdeme úlohy na obvod kruhu a iba jednu úlohu, ktorú možno interpretovať ako výpočet štvrtiny plášťa valca s daným priemerom a výškou. Taktiež nevieme ako a či vôbec, Egypťania počítali objem a povrch kužeľa a gule.

Staroveká Mezopotámia

V starovekej Mezopotámií, území medzi Eufratom a Tigrisom, dosiahla matematika vysoký stupeň rozvoja už 2000 rokov pred n. l. K vypočítaniu obsahu kruhu S, kde o je obvod kruhu, ktorý bol počítaný pomocou vzorca: o = π.d ,v ktorom π je konštanta. Objem valca V počítali "štandardným spôsobom", t. j. vynásobili obsah podstavy S výškou telesa h. Na rozdiel od zachovaných egyptských textov, v babylonských zápisoch nájdeme aj úlohy vypočítať objem zrezaného kužeľa, kde o1, o2 sú obvody, S1, S2 sú obsahy podstáv a h je výška.

Staroveká Čína

Najstaršie správy o čínskej matematike sú z polovice druhého tisícročia pred n. l. a týkajú sa predovšetkým skúmania kalendára. V prvej knihe „Matematiky v deviatich knihách“ sa nachádzajú pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov, medzi inými aj kruhu, kruhového výseku, odseku a medzikružia. Pri výpočtoch o obsahu kruhu používali hodnotu π=3. Táto istá hodnota sa vyskytuje aj pri výpočtoch objemov valca, kužeľa a zrezaného kužeľa.

Staroveká India

Matematika sa v starovekej Indii považovala za jednu z najdôležitejších vied. Najstarším dielom v súvislosti s matematikou bolo „Šalvasútra“ - Matematika v knihách, ktoré vzniklo v 7. - 5. storočí pred n. l. V súvislosti s poznatkami o kruhu a niektorých rotačných telesách je významné dielo „Árjabhattíja“ z roku 499 (veršovaný astronomický a matematický traktát), ktorého autorom bol 23 ročný Árjabhatta I. Popri niektorých dômyselných postupoch v tomto diele uviedol aj pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov a objemov telies. Zaujímavá je závislosť medzi obsahom kruhu S, jeho obvodom o a priemerom d: a aj nesprávny vzorec pre výpočet objemu gule , ktorý je vyjadrený pomocou obsahu S hlavného kruhu (Pozn: kruh na guli so stredom v jej strede, napr. na zemeguli je to rovník a každý poludník). Vzorec na výpočet objemu gule, bol po Árjabhattovi neskôr značne vylepšený a opravený, čo viedlo aj k presnejšej aproximácii hodnoty π.

Antické Grécko

Významný kvalitatívny zlom v porovnaní s matematikou v starovekom Egypte a Mezopotámií nastal v antike, kedy na pobreží Malej Ázie začala byť matematika vedou. Kým predgrécka matematika bola prevažne aritmetická a výpočtová, v Grécku došlo ku jej geometrizácii a všetky úlohy sa riešili využívaním poznatkov elementárnej geometrie.

ARCHIMEDES (287 - 212 pred n. V spise O metóde sa venoval o. i. výpočtom objemov rotačných telies a ich častí. Dokázal, že objem rotačného valca opísaného guli (resp. rotačnému elipsoidu) sa rovná 3/2 - násobku objemu gule (resp. elipsoidu), odvodil výsledky pre objemy odsekov rotačných telies rovinou kolmou na os pre guľu, rotačný elipsoid, paraboloid i rotačný dvojdielny hyperboloid, určil objem rotačného valca a telesa, ktoré z neho oddelí rotačný valec s tým istým polomerom, osou rôznobežnou s osou daného valca a na ňu kolmou. V spise O valci a guli Archimedes dokázal, že i pomer prvkov rotačného valca (opísaného guli) a tejto gule sa rovná 3:2. Tento výsledok bol na Archimedovo želanie vytesaný do jeho náhrobného pomníka.

tags: #obvody #a #obsahy #gula #vzorce #priklady