Rezy kockou, vzorce a príklady

Geometria je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom tvarov, veľkostí a priestorových vzťahov medzi objektami. Geometria rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote - pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov.

3D tvary - steny, hrany a vrcholy - Eulerov vzorec - geometria

Základné geometrické pojmy

Pre lepšie pochopenie problematiky je dôležité definovať si základné geometrické pojmy:
  • Rotačný valec: Teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.
  • Guľa: Teleso, ktorého povrch tvoria všetky body v priestore, ktoré sú rovnako vzdialené od daného pevného bodu (stredu gule). Vzdialenosť od stredu ku ktorémuľvek bodu na povrchu gule sa nazýva polomer (r).
  • Opísaná guľa: Guľa, ktorá obsahuje všetky vrcholy daného telesa (v našom prípade rotačného valca) na svojom povrchu.

Vzorce pre rotačný valec

Pre rotačný valec s polomerom podstavy r a výškou v platí:
  • Objem (V): V = Sp * v, kde Sp je obsah podstavy. Keďže podstava je kruh, Sp = πr². Teda, objem valca je V = πr²v.
  • Povrch (S): S = 2Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy a Spl je obsah plášťa. Obsah podstavy je πr², a obsah plášťa je obvod podstavy krát výška, teda 2πrv.

Výpočet polomeru opísanej gule

Predstavme si rez valca a gule rovinou, ktorá prechádza stredom gule a osou valca. V reze dostaneme kruh (rez gule) a obdĺžnik (rez valca). Uhlopriečka tohto obdĺžnika je priemer kruhu (2R). Polomer opísanej gule sa dá vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

R = √((v² + 4r²) / 4) = √(v² + 4r²) / 2

Tento vzorec nám umožňuje vypočítať polomer gule, ktorá je opísaná rotačnému valcu, ak poznáme polomer a výšku valca.

Príklad

Majme rotačný valec s polomerom podstavy r = 3 cm a výškou v = 8 cm.

Objem a povrch telies

Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Objem hranatých telies.

Objem hranatých telies

Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom.Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=(1/3)Sp*v.Pre valec platí V=Sp * v, kde Sp je obsah podstavy valca. Pre kužeľ platí V=(1/3) Sp * v, kde Sp je obsah podstavy valca.

Objem guľatých telies

Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty π ≈ 3,14159265.

Povrch hranatých telies

Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom Sp a plášť s obsahom Spl vypočítame ako S=2Sp + Spl. Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2 * Sp+Spl.Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy Sp a obsahu jeho plášťa Spl.

Povrch guľatých telies

Platí S=2Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy valca a Spl obsah plášťa valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r a plášť valca je obdĺžnik so stranami v a 2πr. Povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty π ≈ 3,14159265. Môže sa stať, že poznáme polomer r podstavy kužeľa a jeho výšku v, ale nemáme zadanú jeho stranu s.

Príklady výpočtov s kockami a kvádrami

1. Uveďte základné vzťahy pre výpočet objemu a povrchu:

kocky, kvádra, hranola, valca

Riešenie:
  • Kocka: a - hrana kocky
    • objem V = a3
    • obsah S = 6a2
  • Kváder: a, b, c - hrany kvádra
    • objem V = a.b.c
    • obsah S = 2(ab+ac+bc)
  • Hranol: Sp - obsah podstavy, Q - obsah plášťa, v - výška hranola
    • objem V = Sp.v
    • obsah S = 2Sp + Q
  • Valec: r - polomer podstavy, v - výška valca
    • objem V = π.r2.v
    • obsah S = 2πr(r+v)
    • Q = 2πrv

2. Dve debničky tvaru kocky s hranami a = 70 cm, b = 90 cm treba nahradiť jednou debničkou tvaru kocky. Aká bude jej hrana?

Riešenie: Hrana náhradnej kocky bude c = 102,3 cm.

3. Hrana druhej kocky je o 2 cm väčšia, ako hrana prvej kocky. Rozdiel objemov kociek je 728 cm3. Vypočítajte veľkosti hrán obidvoch kociek.

Riešenie: Hrana prvej kocky: x, Hrana druhej kocky: x + 2. Hrana prvej kocky je 10 cm, druhej 12 cm.

6. Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Vypočítajte uhol α medzi podstavovou a telesovou uhlopriečkou.

7. Povrch kvádra je S = 376 cm2. Pre jeho hrany platí a:b:c = 3:4:5. Vypočítajte objem tohto kvádra.

11. Podstava kolmého trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník s odvesnami a = 9 cm, b = 12 cm. Výška hranola je dvojnásobok prepony pravouhlej podstavy hranola. Vypočítajte objem a povrch hranola.

13. Vypočítate objem a povrch hranola, ktorého podstava je kosoštvorec s uhlopriečkami u1 = 12 cm, u2 = 16 cm. Výška hranola sa rovná dvojnásobku podstavovej hrany.

História výpočtov objemov a povrchov

Výpočty objemov a povrchov telies majú bohatú históriu, ktorá siaha až do staroveku.

Staroveký Egypt

Egyptská civilizácia patrí medzi najstaršie. Jej vývoj bol dlhé storočia ovplyvňovaný teplým podnebím, púšťou a záplavami Nílu. Práve vymeriavanie pozemkov, ktoré boli každoročne zaplavované Nílom, viedlo k potrebám geometrie (gé - zem, metrein - merať) a k prvým geometrickým výpočtom egyptskej matematiky. Úlohy o obsahu kruhu sú uvedené na Londýnskom papyruse, kde d je priemer kruhu. Na výpočet objemu používali štandardný postup - obsah kruhovej podstavy vynásobili výškou. Zaujímavé je, že v zachovaných textoch nenájdeme úlohy na obvod kruhu a iba jednu úlohu, ktorú možno interpretovať ako výpočet štvrtiny plášťa valca s daným priemerom a výškou. Taktiež nevieme ako a či vôbec, Egypťania počítali objem a povrch kužeľa a gule.

Staroveká Mezopotámia

V starovekej Mezopotámií, území medzi Eufratom a Tigrisom, dosiahla matematika vysoký stupeň rozvoja už 2000 rokov pred n. l. K vypočítaniu obsahu kruhu S, kde o je obvod kruhu, ktorý bol počítaný pomocou vzorca: o = π.d ,v ktorom π je konštanta. Objem valca V počítali "štandardným spôsobom", t. j. vynásobili obsah podstavy S výškou telesa h. Na rozdiel od zachovaných egyptských textov, v babylonských zápisoch nájdeme aj úlohy vypočítať objem zrezaného kužeľa, kde o1, o2 sú obvody, S1, S2 sú obsahy podstáv a h je výška.

Staroveká Čína

Najstaršie správy o čínskej matematike sú z polovice druhého tisícročia pred n. l. a týkajú sa predovšetkým skúmania kalendára. V prvej knihe „Matematiky v deviatich knihách“ sa nachádzajú pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov, medzi inými aj kruhu, kruhového výseku, odseku a medzikružia. Pri výpočtoch o obsahu kruhu používali hodnotu π=3. Táto istá hodnota sa vyskytuje aj pri výpočtoch objemov valca, kužeľa a zrezaného kužeľa.

Staroveká India

Matematika sa v starovekej Indii považovala za jednu z najdôležitejších vied. Najstarším dielom v súvislosti s matematikou bolo „Šalvasútra“ - Matematika v knihách, ktoré vzniklo v 7. - 5. storočí pred n. l. V súvislosti s poznatkami o kruhu a niektorých rotačných telesách je významné dielo „Árjabhattíja“ z roku 499 (veršovaný astronomický a matematický traktát), ktorého autorom bol 23 ročný Árjabhatta I. Popri niektorých dômyselných postupoch v tomto diele uviedol aj pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov a objemov telies. Zaujímavá je závislosť medzi obsahom kruhu S, jeho obvodom o a priemerom d: a aj nesprávny vzorec pre výpočet objemu gule , ktorý je vyjadrený pomocou obsahu S hlavného kruhu (Pozn: kruh na guli so stredom v jej strede, napr. na zemeguli je to rovník a každý poludník). Vzorec na výpočet objemu gule, bol po Árjabhattovi neskôr značne vylepšený a opravený, čo viedlo aj k presnejšej aproximácii hodnoty π.

Antické Grécko

Významný kvalitatívny zlom v porovnaní s matematikou v starovekom Egypte a Mezopotámií nastal v antike, kedy na pobreží Malej Ázie začala byť matematika vedou. Kým predgrécka matematika bola prevažne aritmetická a výpočtová, v Grécku došlo ku jej geometrizácii a všetky úlohy sa riešili využívaním poznatkov elementárnej geometrie. ARCHIMEDES (287 - 212 pred n. V spise O metóde sa venoval o. i. výpočtom objemov rotačných telies a ich častí. Dokázal, že objem rotačného valca opísaného guli (resp. rotačnému elipsoidu) sa rovná 3/2 - násobku objemu gule (resp. elipsoidu), odvodil výsledky pre objemy odsekov rotačných telies rovinou kolmou na os pre guľu, rotačný elipsoid, paraboloid i rotačný dvojdielny hyperboloid, určil objem rotačného valca a telesa, ktoré z neho oddelí rotačný valec s tým istým polomerom, osou rôznobežnou s osou daného valca a na ňu kolmou. V spise O valci a guli Archimedes dokázal, že i pomer prvkov rotačného valca (opísaného guli) a tejto gule sa rovná 3:2.

Geometria v praxi

Geometria rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote - pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov.

tags: #rezy #kockou #vzorce #priklady

Populárne príspevky: